NÚMEROS COMPLEJOS

SOLUCIONARIO DE ANAYA



VÍDEOS:


Curso Básico de Números Complejos


Índice





1. Qué es un número complejo. Representación. El plano complejo


Un número complejo es un par ordenado de números reales (a, b) en el que el primer número recibe el nombre de componente real y el segundo, componente imaginaria. A un número complejo cualquiera, se le suele asignar la letra z del mismo modo que a un número real se le suele llamar x. Nada impide llamarlos de otra manera. A la representación como par ordenado, se le añade otra manera de representarlo como binomio (forma binómica). Así tenemos indistintamente:

z=(a,b)
z=(a,b)

z=a+bi
z=a+bi

donde i representa la unidad imaginaria. Los números reales x se identifican con el par (x, 0) y los números imaginarios puros yi con el par (0, y). En concreto, la unidad imaginaria i es el par (0, 1).

Un número complejo, como par ordenado de números reales puede asociarse a un punto del plano simplemente asignado a la abscisa la parte real y a la ordenada la parte imaginaria. En este caso, los ejes coordenados se llaman eje real (Re) y eje imaginario (Im) y el plano donde se representan los números complejos, plano complejo. Por ejemplo, podemos representar el número complejo (3, 1) = 3 + i.

(3,1) en el plano
(3,1) en el plano

El plano complejo tiene varias diferencias con el plano afín o el proyectivo. De ello se hablará en el Curso Avanzado de Números Complejos.

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2. Operaciones elementales con números complejos


2.1. Suma


Los números complejos se suman sumando sus respectivas componentes reales e imaginarias:

suma de dos complejos
suma de dos complejos

Ejemplo:

(3,7)+(4,2)=(7,9)
(3,7)+(4,2)=(7,9)

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2.2. Resta


Los números complejos se restan restando sus respectivas componentes reales e imaginarias:

resta de dos complejos
resta de dos complejos

Ejemplo:

(3,7)-(4,2)=(-1,5)
(3,7)-(4,2)=(-1,5)

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2.3. Producto


El producto de números complejos tiene una forma no trivial, que deriva de la necesidad de compatibilidad con la forma binómica en la que la unidad imaginaria i se comporta como si de un número real se tratase salvo en que verifica la igualdad: i * i = -1, que no la verifica ningún número real. Sin profundizar más presento la fórmula bien conocida:

producto de dos complejos
producto de dos complejos

Ejemplo:

(3,7).(4,2)=(-2,34)
(3,7).(4,2)=(-2,34)

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2.4 División


La división de números complejos tiene una forma difícil que deriva de la necesidad de ser la operación inversa del producto. En vez de resolver un sistema de ecuaciones cada vez que queremos buscar el número complejo z tal que z*u = v, aplicamos directamente la fórmula de la división: z = v / u. Esta fórmula es:

división de complejos
división de complejos

Ejemplo:

(-2,34)/(4,2)=(3,7)
(-2,34)/(4,2)=(3,7)

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3. Operaciones con números reales y complejos


Basta recordar que el número real x se representa mediante el número complejo (x, 0) para obtener todas las fórmulas de suma, resta, multiplicación y división de números reales por números complejos. En concreto, se obtiene:

3.1. Suma de número real más número complejo


x+(a,b)=(x+a,b)
x+(a,b)=(x+a,b)

Ejemplo:

5+(3,7)=(8,7)
5+(3,7)=(8,7)

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3.2. Resta de número complejo a número real


x-(a,b)=(x-a,-b)
x-(a,b)=(x-a,-b)

Ejemplo:

5-(3,7)=(2,-7)
5-(3,7)=(2,-7)

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3.3. Resta de número real a un número complejo


(a,b)-x=(a-x,b)
(a,b)-x=(a-x,b)

Ejemplo:

(3,7)-5=(-2,7)
(3,7)-5=(-2,7)

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3.4. Producto de un número real por un número complejo


x(a,b)=(xa,xb)
x(a,b)=(xa,xb)

Ejemplo:

5(3,7)=(15,35)
5(3,7)=(15,35)

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3.5. División de un número real entre un número complejo


real entre complejo
real entre complejo

Ejemplo:

26/(2,3)=(4,-6)
26/(2,3)=(4,-6)

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3.6. División de un número complejo entre un número real


complejo entre real
complejo entre real

Ejemplo:

(15,9)/3=(5,3)
(15,9)/3=(5,3)

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4. Números complejos en forma polar


En el tema 1 vimos cómo un número complejo puede ser representado por un punto en el plano complejo. Trazando un vector con origen en el origen de coordenadas y afijo en el punto correspondiente del plano complejo asociamos a cada número complejo con un vector y viceversa. Recordando que un vector puede definirse mediante módulo (longitud) y argumento (ángulo contado desde el semieje de abscisas positivas hasta el vector en sentido contrario a las agujas del reloj), podemos especificar también un número complejo mediante módulo (longitud) y argumento (ángulo). A esta forma de representarlo se le llama forma polar. Sea por ejemplo el número complejo (3, 4).

(3,4) con radio y ángulo
(3,4) con radio y ángulo

Podemos representar el número complejo (3, 4) por el módulo y argumento:

(3,4)=5/_53,15
(3,4)=5/_53,15

O mejor, teniendo en cuenta que lo conveniente es usar radianes para medir el ángulo:

(3,4)=5/_0,9273
(3,4)=5/_0,9273

La representación de un número complejo como par ordenado se le suele llamar forma cartesiana. Las ecuaciones que permiten cambiar un complejo en forma cartesiana a polar y viceversa:

(a,b)<->r/_fi
(a,b)<->r/_fi

son:

cartesiana a polar
cartesiana a polar

polar a cartesiana
polar a cartesiana

Muchos son los problemas que surgen al interpretar la ecuación del argumento del número complejo, tanto por un humano con poca experiencia, como por un ordenador. Todo deriva de dos problemas:

1. El hecho de ser el arcotangente una función multiforme, con varias determinaciones. Así, arctan(1) puede valer pi / 4 ó 5 pi / 4. En concreto, para cada número complejo tenemos, en principio dos valores posibles del argumento, pero sólo uno válido que debe ser determinado teniendo en cuenta en que cuadrante se halla el número complejo. Un posible programa que tiene en cuenta el cuadrante para hallar el argumento es:

<span style="background-color: #ffffff;">fi = atan(b/a);
if(a < 0)
     fi += M_PI;</span>
Este programa se basa en que la función "atan" la definen los ordenadores:
definición de atan
definición de atan
por tanto, esta función resuelve cualquier argumento en los cuadrantes 1º y 4º. Sólo hay que tener en cuenta el signo de la parte real para reasignar el valor a los cuadrantes 2º y 3º.
2. Las singularidades de la fórmula del argumento para valores complejos imaginarios puros. En este caso a = 0. Aunque un humano puede reaccionar y escribir directamente como argumentos posibles pi / 2 ó 3 pi /2, en el caso de los ordenadores hay que elaborar un programa más complejo: incluso números que nos son imaginarios puros pueden llevar a errores matemáticos en el programa o fallos de precisión si la parte real es muy pequeña frente a la parte imaginaria. Las soluciones son muchas. La mejor es el empleo de la función atan2 válida incluso en ANSI C. En este caso el argumento se halla directamente:
<span style="background-color: #ffffff;">fi = atan2(b, a);</span>
Sólo existen problemas si b = a = 0, pero este es un caso que se puede evitar fácilmente.
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5. Potencias

El cálculo de potencias de un número complejo hace uso de una propiedad muy interesante del producto de números complejos en forma polar:
producto de complejos en forma polar
producto de complejos en forma polar
Elevar un número complejo al cuadrado resulta entonces muy fácil:
cuadrado de un complejo en forma polar
cuadrado de un complejo en forma polar
Y generalizar la fórmula para cualquier potencia, sea entera o incluso real:
potencia de un complejo en forma polar
potencia de un complejo en forma polar
En el caso de las raíces n-ésimas: x = 1/n. En este caso se obtiene:
raíz de un complejo en forma polar
raíz de un complejo en forma polar
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6. Raíces n-ésimas

Es una propiedad conocida de los números reales el que la raíz cuadrada de un número positivo proporciona dos valores válidos: uno positivo y otro negativo. Así, la raíz cuadrada de 4 da como valores 2 y -2. La raíz cúbica, en cambio, sólo proporciona un valor que es del mismo signo que el del número del que se extrae la raíz. Así, la raíz cúbica de -27 sólo proporciona un valor: -3. La situación se repite con raíces de potencias superiores: las de grado par, sólo son posibles si el radicando es positivo y en ese caso proporcionan dos valores (uno positivo y otro negativo); las de potencia impar siempre son posibles y proporcionan un sólo valor del mismo signo que el del número de partida.
En el caso de los números complejos la situación cambia en dos sentidos:
  1. Siempre se puede extraer la raíz n-ésima de un número real, sea del signo que sea e incluso de un número complejo cualquiera.
  2. La raíz n-ésima de un número real o complejo, siempre proporciona n soluciones válidas.
¿De dónde provienen estas n soluciones? Hemos visto cómo obtener una de ellas: sustituyendo en la fórmula de la potencia de un número complejo x por 1/n. El resto de soluciones se encuentran teniendo en cuenta que al argumento de un número complejo se le puede sumar o restar 2 pi radianes sin que deje de representar el mismo número complejo (basta con convertirlo en forma cartesiana). Así, tenemos:
coincidencia de complejos con argumentosque difieren en 2 pi
coincidencia de complejos con argumentosque difieren en 2 pi
Donde el signo
signo de coincidencia
signo de coincidencia
(coincide con) aquí quiere decir "representan el mismo número complejo" o "son dos formas de expresar el mismo número complejo".

En general, como se puede comprobar repitiendo la operación de añadir 2 pi al argumento, se tiene:
coincidencia múltiple
coincidencia múltiple
con k = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Sea ahora un número complejo z:
complejo z múltiplemente definido
complejo z múltiplemente definido
Su raíz n-ésima será entonces:
raíz enésima de z
raíz enésima de z
Para cualquier valor entero de k: -1, 0, 1, 2, etc., obtenemos una raíz válida, como puede comprobarse elevando a n el resultado:
verificación de las raíces
verificación de las raíces
Hay para cada uno de los infinitos valores de k una solución. Sin embargo, la solución para k = m + n ó k = m - n coincide con la solución para k = m.
sólo hay n raíces
sólo hay n raíces
Esta coincidencia hace que la solución para k = n coincida con la solución para k = 0; la solución para k = n+1 coincida con la solución para k = 1. Podemos restringir la búsqueda de soluciones para los valores de k = 0, 1..., n - 1 y estaremos seguros que tenemos n soluciones diferentes y que estas n soluciones son las únicas que hay pues las otras (para k >= n) o para k < 0 coincidirán con alguna de ellas.
Un ejemplo servirá para aclarar ideas. Hallemos la raíz quinta del número z = (2, 1):
raíz quinta de (1,2)
raíz quinta de (1,2)
Sólo tenemos que buscar las soluciones para k = 0, 1, 2, 3 y 4. La solución para k = 5 coincide con la solución para k = 0; la solución para k = 6 coincide con la solución para k = 1; y la solución para k = -1 coincide con la solución para k = 4. Tenemos por tanto las siguientes cinco soluciones:
las cinco soluciones de la raíz quintade (1,2)
las cinco soluciones de la raíz quintade (1,2)
En la siguiente figura están representadas en forma vectorial las cinco soluciones (en trazo grueso) junto con el número complejo de partida (trazo fino).
dibujo de las cinco raíces quintas
dibujo de las cinco raíces quintas
La disposición de las soluciones en forma de estrella es general siempre que se representan las n soluciones de la raíz n-ésima de un número complejo. En este caso, al ser una raíz quinta, hay cinco soluciones formando una estrella de cinco puntas. El argumento de la primera solución es, como se aprecia, la quinta parte del argumento del complejo de partida. Las soluciones se espacian en ángulos iguales y el módulo de cada solución es para todas la raíz quinta del módulo del complejo de partida. En este caso, el módulo de una raíz cualquiera y del número de partida no difieren mucho; sin embargo, podría ocurrir que estuviésemos extrayendo la raíz quinta a un complejo con módulo 32 y las raíces tendrían módulo 2; es decir, un tamaño 16 veces menor. También puede ocurrir a la inversa: si el módulo del número complejo de partida fuera 1/32, el módulo de las raíces sería 1/2 y gráficamente serían 16 veces mayores.