TEMA 1 - NÚMEROS REALES

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DE ANAYA:



LOGARITMOS: Para qué se usan

Los logaritmos se inventaron (a principios del siglo XVII) para simplificar los cálculos matemáticos de multiplicación, división, potenciación y radicación, sobre todo cuando los resultados son números muy grandes y básicamente lo que importa es su orden de magnitud.

Para entender esta idea hay que observar:
1. En base 10, el logaritmo de las sucesivas potencias de 10 es el exponente respectivo. Esto es: log 1 = log 100 = 0; log 10 = log 101 = 1; log 100 = log 102 = 2; log 1000 = log 103 = 3; log 10000 = log 104 = 4; y, en general, log 10n = n.

2. En base 10, cuando un número multiplica su valor por 10, su logaritmo aumenta en una unidad. (Por ejemplo: log 8,3 = 0,919078; log 83 = 1,919078; log 830 = 2,919078; y así sucesivamente.) Y al revés, cuando el valor del logaritmo de dos números se diferencia en una unidad, uno de ellos es diez veces mayor que el otro.

3. En base 10, el valor del logaritmo de cualquier número comprendido entre 10 p y 10 p+1 es un número comprendido entre p y p + 1. Así, por ejemplo, si log A = 6,2, el valor de A está entre 106 y 107; luego el orden de magnitud de A es 6. Análogamente, si log B = 12,48, el número B es de orden de magnitud 12. Y si log C = −4,3, el número C es de orden de magnitud −5.

4. Si log A > log B ⇒ A > B; y al revés. En consecuencia, la magnitud de determinadas variables puede ordenarse comparando los valores de sus respectivos logaritmos.

Escalas logarítmicas

Se llama escala logarítmica aquella en la que en vez de indicar el valor de la variable (de una cantidad) se indica el valor de su logaritmo. Así, 10, 100, 1000, 10000... se sustituyen por 1, 2, 3, 4, …que son sus respectivos logaritmos decimales. La ventaja de hacer este cambio radica en que es más cómodo representar en un eje las cantidades 1, 2, 3 o 4, que las originales 10, 100, 1000 o 10000.

Un ejemplo de escala logarítmica es el pentagrama utilizado en occidente para escribir música, pues, como se ve en el gráfico, la diferencia en la altura del sonido es proporcional al logaritmo de la frecuencia (de un do grave al do siguiente más agudo la frecuencia se dobla. Es decir: que la sucesión de frecuencias de las notas do están en progresión geométrica). [La escala logarítmica es de base 2.] (http://www.epsilones.com/paginas/t-musica.html#musica-escalatem)

El decibelio es una unidad de medida del nivel de intensidad del sonido. Se mide en una escala logarítmica de base 10.

La fuerza de los terremotos se mide usando la escala de Richter, que es logarítmica de base 10. Un terremoto de magnitud 7 en dicha escala es 10 veces más potente que otro de magnitud 6, y 100 veces más potente el de magnitud 5, por ejemplo.